"A música é um exercício inconsciente de cálculos." Leibniz

quarta-feira, 27 de fevereiro de 2013

Múltiplos e Divisores de um número inteiro



















Numa divisão existem alguns termos que tens que te relembrar: 


  • dividendo  (número que será dividido)
  • quociente (resultado da divisão)
  •  divisor (número que divide) 
  •  resto (o que sobra da divisão).
 Quando o resto é igual a zero dizemos que a divisão é exacta e  podemos encontrar múltiplos e divisores.

Por exemplo:
A Rita  recebeu no Carnaval  123 serpentinas  e decidiu partilhá-las com a Mónica e o Diogo. 
Quantas serpentinas terão cada um? Será que sobra alguma ?



quando resolvemos a divisão 123 : 3 encontramos como quociente 41 e resto igual a zero.

Cada um irá receber 41 serpentinas.







Concluímos que essa divisão é exacta (não sobra resto maior que zero), então dizemos que:

  • 123 é divisível por 3, pois a divisão é exacta;
  • ou que 123 é múltiplo de 3, pois existe um número natural que multiplicado por 3 resulta em 123;
  • ou que 3 é divisor de 123, pois existe um número que divide 123 e resulta em 3.


A partir desse exemplo podemos definir múltiplo e divisor como:


Múltiplos são resultados de uma multiplicação de dois números  naturais. Por exemplo, 30 é múltiplo de 6,  pois 6 x 5 = 30.




Exemplos de múltiplos:
M5 = {0,5,10,15,20,25,30,35, ... }
M15 = {0,15,30,45,60,75, ... }
M10 = {0,10,20,30,40,50,60, ... }



Ou seja,  Múltiplo de um número inteiro é o produto desse número por qualquer número inteiro.

Exemplo 1:

2 X 0 = 0

2 X 1 = 2

2 X 2 = 4

2 X 3 = 6

2 X 4 = 8
...

M2= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…} são os múltiplos de 2





Exemplo 2:

4 X 0 = 0

4 X 1 = 4

4 X 2 = 8

4 X 3 = 12

4 X 4 = 16

...

M4= {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,  …} são os múltiplos de 4



Exemplo 3:

5 X 0 = 0

5 X 1 = 5

5 X 2 = 10

5 X 3 = 15

5 X 4 = 20

...

M= {0, 5, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 ,60…} são os múltiplos de 5
 





Divisores são números naturais que dividem outros, desde que a divisão seja exacta, por exemplo: 2 é divisor de 10, pois  10: 2 = 5.

Exemplos de divisores:
D55 = {1,5,11,55}
D10 = {1,2,5,10}
D20 = {1,2,4,5,10,20}
D200 = {1,2,4,5,8,10,20,40,50,100,200}




Exemplo:


A Ana, a Bruna, a Lara, a Mónica, a Erica e a Rita  organizaram um piquenique, para comemorar a chegada da Primavera, onde convidaram colegas, professores e familiares.











No final,  decidiram tirar uma fotografia aos seus 96 convidados. 

De quantas maneiras se podem  organizar os convidados, se fizerem menos de 10 filas, todas com o mesmo número de pessoas, sendo que os convidados mais baixos, ficam na primeira fila ?



Como resolver?


Determinamos os divisores de 96 

D96 ={1;2;3;4;6;8;12;16;24;32;48;96}


Uma vez que têm que fazer menos de 10 filas, podem  formar 2, 3, 4,6 ou 8  filas

  • 2 filas com 48 pessoas
  • 3 filas com  32 pessoas
  • 4 filas com 24 pessoas
  • 6 filas com 16 pessoas
  • 8 filas com 12  pessoas


Resposta: Concluímos que  para tirar a fotografia,  os convidados podem   organizarem-se de 5 maneiras diferentes.




Resumindo:

quarta-feira, 20 de fevereiro de 2013

Os Critérios de divisibilidade por 2,3,4,5,6,7,8,9 e 10









Os números divisíveis por 2:

Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).

Por exemplo:
 são divisíveis por 2 :   46, 188, 234...

 

Os números divisíveis  por 3:

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é    3,  6 ou 9 

Por exemplo:
 147     -    1+4+7= 12 (Pode-se somar novamente ) e 1+2= 3.

167265    -  1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27    e  2 + 7 = 9 é divisível.

65926      -  6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28    e 2 + 8 = 10  não é divisível por 3.

 

Os números divisíveis  por 4:

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível or 4.
Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4  - deve ser um número par e a sua metade continuar par.

Por exemplo: 
758836    -     36 é par e metade de 36 é 18 que é par então   o número é divisível por 4.

9881654    -   54 é par mas metade não é , então o número não é divisível por 4.

 

Os números divisíveis  por 5:

Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

Por exemplo:
125  é divisível por 5


302350 é divisível por 5


Os números divisíveis  por 6:

Se um número for divisível por 2  e por 3 também  é divisível por 6.


Por exemplo:
12  é divisível por 6 porque 12:2=6  e 12:3=4


180  é divisível por 6 porque 180:2=90  e 180:3=60

 Os números divisíveis  por 7:

Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número. Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.

Por exemplo:
245     -    5 x 2 = 10  e depois 24 - 10 = 14
  então é divisível por 7.


1589       -   9 x 2 = 18   e   158 - 18 = 140 então é divisível por 7.
204568   -    8 x 2 = 16  e  20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente
                     0 x 2 = 0     2044 - 0 = 2044
 e novamente
                      4 x 2 = 8     204 - 8 = 196
  e novamente
                      6 x 2 = 12   19 - 12 = 7

                       então é divisível por 7.

 

Os números divisíveis  por 8:

Se os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 então o número é divisível por 8.  (3 últimos pares , a sua metade par e novamente metade par).

Por exemplo:
90168     -    168  é par ,   168:2=84 é par e 84:2= 42 é par  então o número inicial é divisível por 8.

 

Os números divisíveis  por 9:

Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove ( ou fazer os noves fora e dar zero).

Por exemplo:
3464514   -    3+4+6+4+5+1+4 = 27   e     2 + 7 = 9      então é divisível por 9.

4524562   -   4+5+2+4+5+6+2 = 28   e     2 + 8= 10    então não é divisível por 9.

 

 Os números divisíveis  por 10:

Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.


Por exemplo:
40  é divisível por 10.

350  é divisível por 10.

1280  é divisível por 10


                            
                              Agora , podes treinar  clicando aqui:


sexta-feira, 15 de fevereiro de 2013

PRIORIDADE DAS OPERAÇÕES NUMA EXPRESSÃO NUMÉRICA












Uma expressão numérica é um seguimento de cálculos a serem efectuados, numa única linha de uma folha de caderno.
             
          Exemplo de uma expressão numérica:   2 + 3 x 4 - 1 + 8 : 2






Como resolver?  


Na maioria das vezes, erramos o resultado por não se ter seguido a  ordem em que se  efectuou cada uma das contas da expressão numérica. 
Portanto precisamos sempre  de  seguir as prioridades das operações , para chegar ao resultado  correcto. 
REGRAS de Prioridade:
  1.  Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são feitas na mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita.
Por exemplo:
15 + 7 + 12 -13 =
22 + 12 - 13 =
34 - 13 = 21 


    2.   Nas expressões numéricas efectuamos sempre as multiplicações antes das adições
          e subtracções.
Por exemplo: 
28 - 7 + 15 x 3
= 28 -  7 +  45
= 21  + 45
= 66


      3.   Nas expressões numéricas efectuamos a divisão antes da adição e  subtração
Por exemplo: 
 87 - 36 : 3 + 1
= 87 - 12 + 1
=75 + 1
= 76


      4.     Nas expressões numéricas efectuamos a multiplicação e a divisão antes da
              adição e da subtração
Por exemplo: 
2 + 3 x 4 - 1 + 8 : 2
= 2 + 12 – 1 + 4
=14 – 1 + 4
= 13 + 4
= 17 


NOTA IMPORTANTE: Para determinarmos uma expressão numérica onde  aparece potências, efectua-se sempre primeiro a potenciação, e só depois é que se  efectuam as divisões e multiplicações, e por fim a subtração e adição.




Resumindo, para resolver uma expressão numérica, efectuamos as operações obedecendo à seguinte ordem :

1°) Potê
ncias 
2º) parênteses
3°) Multiplicações e divisões
4°) Adições e Subtrações



EXEMPLOS

1)

 5 + x  (5-3) =

=  5 + 9 x 2 =


=  5 + 18 =


=  23


2)

  - 4 x 2 + 3 =

498 + 3 =


=  41 + 3 =


=  44



3)
40 - + ( - 7 ) =

= 40 – 25 + ( 8 - 7 )=


= 40 – 25 + 1 =


= 15 + 1 =


= 16





Agora , podes treinar  clicando aqui: 







Introdução à ordem de operações: Ordem de operações

sexta-feira, 8 de fevereiro de 2013

Multiplicação de um número decimal por uma potência de base 10









Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais.

Exemplos:

7,4 x 10  = 7,4 x 101  = 74
7,4 x 100  = 7,4 x 102    = 740
7,4 x 1000  = 7,4 x 103    = 7400





0,2475 x 10  = 0,2475 x 101 =2,475
0,2475 x 100 = 0,2475 x 102   = 24,75
0,2475 x 1000 = 0,2475 x 103  = 247,5




247,5 x 10  = 247,5 x 101 = 2475
247,5 x 100 = 247,5 x 102   = 24750
247,5 x 1000 = 247,5 x 103   = 247500



Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 isso  indica que:
- iremos "aumentar" o número de zeros à direita
 ou "movimentar" para direita a vírgula
tantas casas quanto indicar o expoente da base 10.



Vejamos  alguns exemplos:




34 x 105=5400000Acrescentamos 5 zeros à direita do 34
1050 x 102=105000Acrescentamos 2 zeros à direita do 1050
0,00071 x 104=7,1"Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita
0,000045 x103=0,045"Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita

terça-feira, 5 de fevereiro de 2013

Multiplicação de um número natural por 10, 100 e 1000







Num armazém de papel reciclado, o Rui, o Diogo e o Fernando empilharam  as caixas  em colunas com o número máximo de 10 caixas.

Multiplicação por 10, 100 e 1000
Em cada caixa existem exactamente 10 embalagens contendo papel cartão, e dentro de cada embalagem existem 10 cartões.

Considerando que existem 100 colunas de caixas, o Rui, o Diogo e o Fernando  pretendem  determinar a quantidade total de:
 -cartões existentes em cada caixa;
 -cartões existentes em cada coluna de caixas;
 -cartões existentes  no armazém.

A operação a ser realizada é a da multiplicação.


Número de cartões em cada caixa
São 10 embalagens com 10 cartões cada, então: 10 x 10 = 100 cartões em cada caixa.

Número de cartões em cada coluna
 São 10 caixas em cada coluna, se em cada caixa existem 100 cartões temos:
10 x 100 = 1000 cartões em cada coluna. 

Número de cartões no armazém 
São 10 caixas em cada coluna com 100 cartões em cada caixa, portanto temos 1000 cartões em cada coluna. Sabemos que são 100 colunas, então:
 100 x 1000 = 100 000.

O número máximo de cartões no armazém é igual a 100 000 cartões.





As multiplicações efectuadas podem ser realizadas utilizando regras práticas:

 Multiplicando por 10:

Quando multiplicamos um número por 10, basta acrescentarmos à direita do número um zero.
6 x 10 = 60
2 x 10 = 20
13 x 10 = 130
14 x 10 = 140
70 x 10 = 700
25 x 10 = 250




Multiplicando por 100:

Quando multiplicamos um número por 100, basta acrescentarmos à direita do número dois zeros.


2 x 100 = 200
30 x 100 = 3 000
45 x 100 = 4 500
32 x 100 = 3 200
520 x 100 = 52 000
800 x 100 = 80 000




 Multiplicando por 1000:


Quando multiplicamos um número por 1000, basta acrescentarmos à direita do número três zeros.
5 x 1000 = 5 000
 54 x 1000 = 54 000
31 x 1000 = 31 000
250 x 1000 = 250 000
19 x 1000 = 19000
540 x 1000 = 540 000