"A música é um exercício inconsciente de cálculos." Leibniz

sábado, 9 de março de 2013

O mínimo múltiplo comum (mmc) e o máximo divisor comum (mdc)













Para o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) e do máximo divisor comum (mdc) é preciso saber o que são múltiplos e divisores de um número.

 O Múltiplo de um número natural é o produto da multiplicação desse número por outro, por exemplo:
  • 69 é múltiplo de 3, pois 3 x 23 = 69.
  • 80 é múltiplo de 5, pois 5 x 16 = 80

O Divisor de um número natural é aquele número que divide outro, desde que a divisão seja exata, por exemplo:
  • 5 é divisor de 30, pois 30 : 5 = 6
  • 18 é divisor de 90, pois 90: 18 = 5.



Mínimo múltiplo comum (mmc):
Mínimo múltiplo comum  de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mmc de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos.
  • M30 = 0,30,60,90,120,150, ...
  • M60 = 0,60,120,180,240, ...

Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que o mmc (30,60) = 60.



Vejamos  outro exemplo:

mmc (5,9) = 45, porque
  • M5 = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60, ...
  • M9 = 0,9,18,27,36,45,54,63,72,...

Como o menor múltiplo comum de 5 e 9 é o 45, dizemos que o mmc de 5 e 9 é 45.

Máximo divisor comum (mdc):
 Máximo divisor comum de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o maior divisor comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mdc de 15 e 20, temos que encontrar os divisores de cada número:
  • D15 = 1,3,5,15.
  • D20 = 1,2,4,5,10,20.

 O Maior divisor comum entre 15 e 20 é  então 5, portanto, 
o mdc (15,20) = 5.

Vejamos  outro exemplo:

mdc (10,25,60) = 10, pois


O maior divisor comum entre esses números é 10, 
portanto mdc(20,30,60) = 10.
  • D20 = 1,2,4,5,10,20
  • D30 = 1,2,3,5,6,10,15,30
  • D60 = 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

quinta-feira, 7 de março de 2013

Tabela de números primos: O crivo de Eratóstenes













Crivo de Eratóstenes é um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite escolhido e foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C):
Escreve-se a sucessão natural dos números inteiros até ao número desejado.   


Suprime-se o número 1.

O número 2 é o menor número primo.

A partir do que lhe segue o 3, cortam-se todos os múltiplos de 2.

O número 3, o primeiro que não foi cortado, é primo.

A partir dos que lhe seguem cortamos todos os múltiplos de três.

O primeiro não riscado é 5, que será número primo, e a partir de 6 cortamos todos os múltiplos de cinco.


Visualização do Crivo
Animação do crivo


É fácil ver que o corte ou crivagem dos diferentes números pode começar a fazer-se, não a partir do número que se segue a um dado primo, mas a partir do quadrado desse número primo, pois verifica-se facilmente que são primos, todos os números não riscados até ao quadrado do novo número primo, a partir do qual se devia continuar a operação. Assim, depois da supressão dos múltiplos de 2, os números não riscados 3, 5 e 7 são primos por serem inferiores a 32 =9.  

Decomposição em fatores primos










A professora do  Rui pediu-lhe para escrever todas as multiplicações possíveis  do número 36 com a  seguinte característica:
   -Os divisores só podem ser números primos

Utilizando o esquema seguinte, o Rui concluiu que :


36 = 2 x 18
                         18 = 2  x  9
                                                  9 = 3 x 3

ou seja  36 =  2 x 2 x 3 x 3
36 = 22 x 32



Lembras-te que todo  o número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais factores, vejamos por exemplo:

Decomposição do número 24:
24 = 2 x 2 x 3 x 2

24 = 23 x 3

Decomposição do número 50: 
50 = 2 x 5 x 5
50 =  2 x 52


Decomposição do numero 20:
20 = 2 x 5 x 2
20 =   2x 5




Regra prática para a decomposição em factores primos.:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a decomposição em factores primos do número 630.
Então
630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7
630 = 2 x 32 x 5 x 7


domingo, 3 de março de 2013

Números primos e números compostos

















Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.


Exemplos de números primos:

 2 é um número primo, pois D2 = {1, 2}

 3 é um número primo, pois D3 = {1, 3}

 5 é um número primo, pois D5 = {1, 5}

 7 é um número primo, pois D7 = {1, 7)

11 é um número primo, pois D11 = {1, 11}



O conjunto dos números primos é infinito.

 Números Primos={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}




Exemplos de números que não são número primo:

 4 não é um número primo, pois D4 = {1, 2, 4}

6 não é um número primo, pois D6 = {1, 2, 3, 6}

 8 não é um número primo, pois D8 = {1, 2, 4, 8}

9 não é um número primo, pois D9 = {1, 3, 9}

 10 não é um número primo, pois D10 = {1, 2, 5, 10}

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.



Sabias  que:
  • O número 2 é o único número par que é primo.
  • O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.



Crivo de Eratóstenes é um método que permite obter uma tabela de números primos até um limite escolhido e foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C):

Escreve-se a sucessão natural dos números inteiros até ao número desejado.   


Suprime-se o número 1.

O número 2 é o menor número primo.

A partir do que lhe segue o 3, cortam-se todos os múltiplos de 2.

O número 3, o primeiro que não foi cortado, é primo.

A partir dos que lhe seguem cortamos todos os múltiplos de três.

O primeiro não riscado é 5, que será número primo, e a partir de 6 cortamos todos os múltiplos de cinco.


Visualização do Crivo
Animação do crivo


É fácil ver que o corte ou crivagem dos diferentes números pode começar a fazer-se, não a partir do número que se segue a um dado primo, mas a partir do quadrado desse número primo, pois verifica-se facilmente que são primos, todos os números não riscados até ao quadrado do novo número primo, a partir do qual se devia continuar a operação. Assim, depois da supressão dos múltiplos de 2, os números não riscados 3, 5 e 7 são primos por serem inferiores a 32 =9.  






Quando o número a estudar é grande, não é prático utilizar o «crivo de Erastótenes». Neste caso, recorremos ao processo das divisões sucessivas.

Dividimos o número dado pelos sucessivos números primos 2 , 3 , 5 , 7 , 11, ... até obter

  • resto zero - dizendo, neste caso, que o número é composto.
ou
  • quociente menor ou igual ao divisor - dizendo, neste caso, que o número é primo.


Exemplo 1: 151 é número primo?

151 não é divisível por 2, 3 e 5.
Vejamos o que acontece com os números primos seguintes:



Não encontrámos nenhum resto igual a zero, até obtermos um quociente menor que o divisor. Concluímos que 151 é um número primo.

Exemplo 2: 221 é número primo? 221 não é divisível por 2, 3 e 5. Vejamos, então:



Concluímos que 221 é um número composto.